La structure fractale des oscillateurs harmoniques en musique: Concert du Nouvel An: JS.Bach. Concerts de Brandebourg.

L'analyse de la structure de différentes œuvres musicales a montré que la sélection des notes de différents compositeurs, à des moments différents, présente des éléments communs. C’est l’un des concerts de Bach de Brandebourg, du quatuor à cordes n ° 3 de Babbit, des œuvres pour piano de Scott Joplin, toutes ces œuvres ont la même forme si la structure est considérée en termes de fréquences. Nous allons expliquer cela ci-dessous.

Dans l’analyse auditive de diverses œuvres musicales, on a étudié le pouvoir sonore de la musique. Cette quantité est, en substance, l'énergie qui est émise sous forme d'ondes sonores chaque seconde, lorsque l'œuvre musicale est exécutée. En analysant la manière dont cette quantité est structurée, en termes de fréquence, on obtient ce qu'on appelle son spectre.

Comment les spectres des différentes œuvres musicales dépendent-ils de la fréquence?

Des analyses portant sur différentes œuvres musicales ont montré que leurs spectres dépendent de la fréquence, que nous appellerons par la lettre f, telle que (1 / f). Si nous nous souvenons de ce qui a été analysé dans le chapitre précédent, nous voyons que ce spectre est une loi de puissance qui, en langage mathématique, dépend de la fréquence inverse du premier pouvoir de f (puisque l’exposant de f in (1 / f) est 1). Par conséquent, comme décrit précédemment, ce spectre est auto-similaire et contient par conséquent une structure fractale.

Un spectre du type mentionné dans le paragraphe précédent est appelé spectre rose.

Pourquoi Bach et de nombreux autres compositeurs ont-ils choisi le spectre rose? La réalité est qu'aucun musicien n'a jamais entendu parler de ces idées, encore moins les avoir délibérément choisies. Pour comprendre ce qui se passe, nous expliquerons comment la musique serait créée avec un autre type de spectre.

Une solution serait la suivante: chaque note écrite est telle que sa position et sa durée ne dépendent pas du tout des notes précédentes ni de leur durée. Dans ce cas, on dit que la composition est complètement aléatoire ou stochastique. Un exemple de ce type de musique est présenté à la figure 33 (a). Le spectre de la puissance audio de ce type de musique est le même pour toute valeur de fréquence, ce qui signifie que la valeur de la puissance est identique pour toute valeur de fréquence, c’est-à-dire qu’il s’agit d’une quantité. constante. Mathématiquement, le spectre dépend de la fréquence (1 / f0), puisque f0 = 1. Un spectre de ce type est appelé blanc. Si ce type de musique était joué sur un instrument, nous l'entendrions sans structure; Cela donnerait également l'impression que d'une note à l'autre, il y aurait toujours une surprise.

Un autre type de spectre, allant à l’autre extrémité, est celui qui dépend de la fréquence (1 / f²), appelé marron ou marron, nom qui a été donné parce qu’il est associé au mouvement brownien présenté au chapitre IV. La figure 33 (b) montre une musique à spectre brun. En musique, chaque note et sa durée dépendent dans une large mesure des notes précédentes. Par conséquent, le sentiment que vous avez en l'écoutant est qu'après avoir joué quelques notes, les points suivants sont prévisibles.

Sur la figure: (a) Exemple de musique blanche. (b) Exemple de musique brune. (c) Exemple de musique rose.

La musique à spectre rose, c'est-à-dire (1 / f), fait pour ainsi dire partie des cas de musique aléatoire (spectre blanc) et déterministe (spectre brun). Dans ce cas, les notes et leur durée ne sont ni très prévisibles ni très surprenantes. Un exemple de ce type de musique est présenté à la figure 33 (c).

Pour revenir à la question posée ci-dessus: pourquoi les compositeurs ont-ils utilisé efficacement le spectre rose, c’est-à-dire une loi de pouvoirs (1 / f) pour composer leur musique?, On peut dire que les compositeurs ont essayé, et certainement beaucoup de Ils ont réussi à composer une musique intéressante. La question devrait être posée comme suit: pourquoi une musique intéressante a-t-elle un spectre rose? La réponse pourrait être que la musique avec ce type de spectre ne s'avère ni très prévisible (spectre brun) ni très surprenante (spectre blanc). Le scientifique néerlandais Balthazaar van de Pol a dit un jour que la musique de Bach est excellente parce qu’elle est inévitable et en même temps surprenante, ce qui signifie que son spectre est rose.

Parce que la musique à spectre rose est auto-similaire, elle a une structure similaire à différentes échelles de fréquence. Ce qui se passe sur une échelle de fréquence doit se produire sur n’importe quelle autre échelle de fréquence. Si une telle composition était enregistrée sur une bande magnétique à une certaine vitesse et jouée à des vitesses différentes, ce qui serait entendu serait similaire à ce qui a été enregistré. Cela contraste avec ce qui se passe avec la voix humaine, car lorsqu'un enregistrement est lu à une vitesse, par exemple deux fois plus, il sonne très fort. L'un des moyens de faire preuve d'auto-similitude consiste à utiliser un appareil électronique qui génère des sons des fréquences de votre choix. Si un son produit est la superposition de 2 notes, chaque note étant une octave (double fréquence) de la précédente et commençant par une note de 10 Hertz (Hz), (1 hertz = 1Hz = 1 / s), Les 11 notes suivantes seraient de fréquences:

20 = 2 x 10, 40 = 4 x 10, 80 = 8 x 10, 160 = 16 x 10,

320 = 32 x 10, 640 = 64 x 10, 1280 = 128 x 10,

2560 = 256 x 10, 5120 = 5l2 x l0, 10 240 = 1024 x 10 et

20 480 = 2 048 x 10, toutes en unités Hz.

Modifions maintenant chacune de ces notes pour les autres qui ont des fréquences plus élevées d'un demi-ton (correspondant à la différence entre deux notes successives d'un piano); la fréquence de demi-ton est obtenue à partir de la note précédente en multipliant par 1, 05946. Maintenant, le son qui est la superposition des fréquences suivantes sera joué:

10 x 1, 0594 = 10, 6, 20 x 1, 05946 = 21, 2,

40 x 1, 05946 = 42, 38, 80 x 1, 05946 = 84, 76,

160 x 1, 05946 = 169, 51, 320 x 1, 05946 = 339, 03,

640 x 1, 05946 = 678, 06, 1 280 x 1, 05946 = 1356, 11,

2560 x 1, 05946 = 2712, 22, 5120 x 1, 05946 = 5424, 44,

10240 x 1, 05946 = 10848, 88 et 20480 x 1, 05946 = 21697, 74 Hz

Ce son sera entendu avec un ton plus fort que le précédent.

Si la fréquence de chacune des notes est augmentée d'un demi-ton, la superposition des nouveaux sons produira un son plus aigu. Si le processus d'augmentation de chacun des composants sonores d'un demi-ton est répété 12 fois, il s'avère que le son produit est impossible à distinguer de l'original! Ceci est une démonstration musicale d'auto-similarité.

De plus, si nous prenons comme référence les diagrammes temps / spectre non audibles, nous aurons cela dans les nuances> 20 Hz et supérieures à 28 000 Hz, nous obtiendrons un logarithme harmonique qui est exprimé comme une succession d'événements simples et doubles. dans les silences:

La clé des oscillateurs harmoniques réside dans la succession de silences ou de chaînes de fréquences du spectre non audible.

La combinaison des concepts ci-dessus, donne lieu à cette merveille que nous proposons de recevoir la nouvelle année 2011: